Непрерывное преобразование Лапласа

Одним из способов решения дифференциальных уравнений (систем уравнений) с постоянными коэффициентами является метод интегральных преобразований, который позволяет функцию вещественной переменной (оригинал функции) заменить функцией комплексной переменной (изображение функции). В результате операции дифференцирования и интегрирования в пространстве функций-оригиналов преобразуются в алгебраическое умножение и деление в пространстве функций-изображений. Одним из представителей метода интегральных преобразований является Преобразование Лапласа.

Непрерывное преобразование Лапласа – интегральное преобразование, связывающее функцию комплексной переменной  (изображение функции) с функцией вещественной переменной  (оригинал функции). При этом функция вещественной переменной  должна удовлетворять следующим условиям:

- функция определена и дифференцируема на всей положительной полуоси вещественной переменной  (функция удовлетворяет условиям Дирихле);

- значение функции до начального момента приравнивают к нулю ;

- возрастание функции ограничена экспоненциальной функцией, т.е. для функции вещественной переменной существуют такие положительные числа М и с, что  при , где c – абсцисса абсолютной сходимости (некоторое положительное число).

Преобразованием Лапласа (прямое интегральное преобразование) от функции вещественной переменной называется функция следующего вида (функция от комплексной переменной):

Функцию  называют оригиналом функции, а функцию  называют ее изображением. Комплексная переменная  называется оператором Лапласа, где  - угловая частота, - некоторое положительное постоянное число. 

В  качестве первого примера определим изображение для постоянной функции 

В  качестве второго примера определим изображение для косинусоидальной функции . С учетом формулы Эйлера косинусоидальную функцию можно представить в виде  суммы двух экспонент .

На практике для выполнения прямого преобразования Лапласа используются таблицы преобразований, в которых представлены оригиналы и изображения типовых функций. Ниже представлены некоторые из данных функций.

Оригинал и изображение для экспоненциальной функции

Оригинал и изображение для косинусоидальной функции

Оригинал и изображение для синусоидальной функции

Оригинал и изображение для экспоненциально затухающего косинуса

Оригинал и изображение для экспоненциально затухающего синуса

Следует отметить, что функция  является функцией Хевисайда, которая принимает значение ноль при отрицательных значениях аргумента и принимает значение равное единице для положительных значений аргумента.

Свойства Преобразования Лапласа

• Теорема линейности

Преобразование Лапласа обладает свойством линейности, т.е. любое линейное соотношение между оригиналами функции справедливо для изображений этих функций.

Свойство линейности упрощает нахождение оригиналов сложных изображений, так как позволяет изображение функции представить в виде суммы простых слагаемых, а затем найти оригиналы каждого представленного слагаемого.

• Теорема о дифференцировании оригиналафункции

Дифференцирование оригинала функции соответствует умножению изображения функции на оператор Лапласа.

- при ненулевых начальных условиях:

- при нулевых начальных условиях (частный случай):

Таким образом, операция дифференцирования функции заменяется арифметической операцией в пространстве изображений функции.

• Теорема об интегрировании оригиналафункции

Интегрирование оригинала функции соответствует делению изображения функции на оператор Лапласа.

Таким образом, операция интегрирования функции заменяется арифметической операцией в пространстве изображений функции.

• Теорема подобия

 Изменение аргумента функции (сжатие или расширение сигнала) во временной области приводит к обратному изменению аргумента и ординаты изображения функции.

Увеличение длительности импульса вызывает сжатие его спектральной функции и уменьшение амплитуд гармонических составляющих спектра.

• Теорема запаздывания

Запаздывание (сдвиг, смещение) сигнала по аргументу оригинала функции на интервал  приводит к изменению фазочастотной функции спектра (фазового угла всех гармоник) на заданную величину без изменения модуля (амплитудной функции) спектра.

         Полученное выражение справедливо для любого 

• Теорема смещения

Запаздывание (сдвиг, смещение) сигнала по аргументу изображения функции приводит к умножению оригинала функции на экспоненциальный множитель

Теорема смещения с практической точки зрения применяется при определении изображений экспоненциальных функций. 

• Теорема о свертке

Свертка является математической операцией, применённая к двум функциям  и , порождающая третью функцию. Другими словами, имея реакцию некой линейной системы на импульс, можно с помощью свёртки  вычислить реакцию системы на весь сигнал.

Таким образом, свертка оригиналов двух функций может быть представлена в виде произведения изображений этих функций. Теорему сверки используют при рассмотрении передаточных функций, когда определяется реакция системы (выходной сигнал от четырехполюсника) при подаче сигнал  на вход четырехполюсника с импульсной переходной характеристикой .

Рис.1. Линейный четырехполюсник

Обратное преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа является обратимым, т.е. функция вещественной переменной  однозначно определяется из функции комплексной переменной . Для этого используется формула обратного преобразования Лапласа (формула Меллина, интеграл Бромвича), которая имеет следующий вид:

В данной формуле пределы интегрирования означают, что интегрирование идет по бесконечной прямой, которая параллельна мнимой оси и пересекает вещественную ось в точке . С учетом того, что  последние выражение может быть переписано в следующем виде:

На практике для выполнения обратного преобразования Лапласа изображение функции раскладывают на сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов и для каждой дроби (в соответствии со свойством линейности) определяют оригинал функции, в том числе с учетом таблицы типовых функций. Данный способ справедлив для изображения функции, которая является правильной рациональной дробью. Следует отметить, что простейшая дробь может быть представлена в виде произведения линейных и квадратичных сомножителей с действительными коэффициентами в зависимости от типа корней знаменателя:

- в случае наличия нулевого корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа: 

- в случае наличия нулевого n-кратного корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа: 

- в случае наличия действительного корня  в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа: 

- в случае наличия действительного n-кратного корня  в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа: 

- в случае наличия мнимого корня  в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа: 

- в случае наличия комплексно-сопряжённых корней  в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа: 

∙ В общем случае если изображение функции представляет собой правильную рациональную дробь (степень числителя меньше степени знаменателя рациональной дроби), то ее можно разложить на сумму простейших дробей.

Далее для каждой простейшей дроби определяется оригинал функции в соответствии с типовыми таблицами.

∙ В частном случае если знаменатель изображения функции раскладывается только на простые корни уравнения, то изображение функции можно разложить на сумму простейших дробей следующим образом:

Неизвестные коэффициенты могут быть определены методом неопределённых коэффициентов или упрощенным способом по следующей формуле:

- значение функции в точке ;

- значение производной функции в точке .

Оригинал данной функции будет определяться следующим образом:

В качестве примера определим оригинал функции, при условии, что его изображение определяется следующим образом:

Раскладываем знаменатель на множители и перепишем изображение функции с учетом введение в уравнение неизвестных коэффициентов:

Неизвестные коэффициенты в выражении будут определяться по формуле следующим образом:

Таким образом, изображение функции имеет следующий вид:

В результате определяем оригинал функции:

Следует отметить, что в случае если знаменатель имеет нулевой корень, то упрощенная формула для определения неопределённых коэффициентов имеет другой вид:

В качестве примера определим оригинал функции, при условии, что его изображение определяется следующим образом:

Раскладываем знаменатель на множители и перепишем изображение функции с учетом введение в уравнение неизвестных коэффициентов:

Неизвестные коэффициенты в выражении будут определяться по формуле следующим образом:

Таким образом, изображение функции имеет следующий вид:

В результате оригинал функции будет определяться следующим выражением:

Преобразования Лапласа применяются в математике, физике, оптике, электротехнике, технике автоматического управления, обработке сигналов и теории вероятности. Данное преобразование было предложено Пьером-Симоном де Лапласом в XVIII веке в процессе работы над теорией вероятности. В настоящее время преобразование Лапласа используется при решении систем дифференциальных и интегральных уравнений, а также при расчете/анализе передаточных функций линейных динамических систем, таких как электрические схемы, гармонические осцилляторы, оптические приборы и механические системы.