Квадратное уравнение – это алгебраическое уравнение второй степени (также его называют квадратным трёхчленом), которое можно записать в следующем виде:
где 
– неизвестная переменная, а переменные 
- являются коэффициентами уравнения, причем 
. Представленное квадратное уравнение, когда все коэффициенты отличны от нуля, называют полным уравнением.
Приведённым уравнением называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице.
Любой многочлен может быть представлен в виде произведения линейных множителей вида 
и постоянного числа, которое является коэффициентов многочлена при старшей ступени , т.е.
где 
- являются корнями многочлена.
Корнем называют число 
, обращающее квадратный трёхчлен в нуль. Корнями многочлена могут быть как действительные корни, так и комплексно-сопряженные корни.
Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений умели решать математики в Древнем Египте и Древнем Вавилоне (XX—VI вв. до н. э.). Методы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Данные материалы способствовали распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду 
, было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487 - 1567). Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были получены Франсуа Виетом в 1591 г. После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595 - 1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.
Способ №1. Общая формула для вычисления корней
Рассмотрим методику определения корней для полного квадратного уравнения:
1. Вычислить значение дискриминанта квадратного уравнения:
2. В случае если 
, то корни квадратного уравнения определены на множестве действительных чисел. Корни уравнения определяются по следующей формуле:
3. В случае если 
, то квадратное уравнение имеет два одинаковых корня квадратного уравнения, которые определяются по следующей формуле:
4. В случае если 
, то корни квадратного уравнения определены на множестве комплексных чисел. Корни уравнения определяются по следующей формуле:
где 
является мнимой единицы, а квадрат данной переменной равен -1 (минус единице).
Изложенный метод решения квадратного уравнения является универсальным методом, который позволяет разложить исходное квадратное уравнение на множители:
Задача. Определим корни квадратного уравнения
Дискриминант квадратного уравнения определяется по формуле:
Корни квадратного уравнения определяются следующим образом:
В результате исходное квадратное уравнение раскладывается на множители:
Способ №2. Использование теоремы Виета
Рассмотрим методику определения корней для полного квадратного уравнения:
В соответствии с теоремой Виета между корнями 
и коэффициентами квадратного уравнения существуют взаимосвязь. Если переменные 
– корни квадратного уравнения, то:
- сумма корней равна отношению коэффициентов b и a, взятому с противоположным знаком
- произведение корней равно отношению коэффициентов c и a.
Если выполняются оба представленных соотношения, то в силу обратной теоремы Виета, делается вывод, что данные числа являются корнями уравнения.
Задача. Определим корни квадратного уравнения
В соответствии с теоремой Виета составляется следующая система уравнений:
Решая данную систему уравнений, определяются корни квадратного уравнения:
В результате исходное квадратное уравнение раскладывается на множители:
В данной статье рассмотрены основные способы решения квадратных уравнений, но существует ряд других специализированных методов решения уравнений. Более подробно данные методы описаны в статье о способах решения алгебраического многочлена степени n.
