Выборка экспериментальных данных представляет собой массив данных, который характеризует процесс изменения измеряемого сигнала в течение заданного времени (либо относительно другой переменной). Для выполнения теоретического анализа измеряемого сигнала необходимо найти аппроксимирующую функцию, которая свяжет дискретный набор экспериментальных данных с непрерывной функцией - интерполяционным полиномом n-степени. Данный интерполяционный полином n-степени может быть записан, например, в форме Ньютона (один из способов представления).
Интерполяционный многочлен в форме Ньютона – это математическая функция позволяющая записать полином n-степени, который будет соединять все заданные точки из набора значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки с постоянным временным шагом измерений.
1. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих значений аргумента
В общем виде интерполяционный многочлен в форме Ньютона записывается в следующем виде:
где n – вещественное число, которое указывает степень полинома;
– переменная, которая представляет собой разделенную разность k-го порядка, которая вычисляется по следующей формуле:
Разделённая разность является симметричной функцией своих аргументов, то есть при любой их перестановке её значение не меняется. Следует отметить, что для разделённой разности k-го порядка справедлива следующая формула:
В качестве примера, рассмотрим построение полинома в форме Ньютона по представленной выборке данных, которая состоит из трех заданных точек 
. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона, который проходит через три заданных точки, будет записываться в следующем виде:
- Разделенная разность 1-го порядка определяется следующим выражением
Следует отметить, что данное выражение может быть переписано в другом виде:
- Разделенная разность 2-го порядка определяется следующим выражением
Следует отметить, что данное выражение может быть переписано в другом виде:
Форма Ньютона является удобной формой представления интерполяционного полинома n-степени, так как при добавлении дополнительного узла все вычисленные ранее слагаемые остаются без изменения, а к выражению добавляется только одно новое слагаемое. Следует отметить, что интерполяционный полином в форме Ньютона только по форме отличается от интерполяционного полинома в форме Лагранжа, представляя собой на заданной сетке один и тот же интерполяционный полином.
Следует отметить, что полином в форме Ньютона может быть представлен в более компактном виде (по схеме Горнера), которая получается путем последовательного вынесения за скобки множителей 
2. Интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих значений аргумента
В случае если значения функции заданы для равноотстоящих значений аргумента, которые имеют постоянный шаг измерений 
, то используют другую форму записи интерполяционного многочлена по формуле Ньютона.
- Для интерполирования функции в конце рассматриваемого интервала (интерполирование назад и экстраполирование вперед) используют интерполяционный полином в форме Ньютона в следующей записи:
где конечные разности k-порядка определяются по следующему выражению
Получаемые конечные разности удобно представлять в табличной форме записи, в виде горизонтальной таблице конечных разностей. В этой формуле из таблицы конечных разностей используются 
верхней диагонали.
- Для интерполирования функции в начале рассматриваемого интервала (интерполирование вперед и экстраполирование назад) используют интерполяционный полином в форме Ньютона в следующей записи:
где конечные разности k-порядка определяются по следующему выражению
Получаемые конечные разности удобно представлять в табличной форме записи, в виде горизонтальной таблице конечных разностей. В формуле из таблицы конечных разностей используются 
нижней диагонали.
3. Погрешность интерполяционного полинома в форме Ньютона
Рассмотрим функцию f(x), которая непрерывна и дифференцируема на рассматриваемом отрезке [a, b]. Интерполяционный полином P(x) в форме Ньютона принимает в точках 
заданные значения функции 
. В остальных точках интерполяционный полином P(x) отличается от значения функции f(x) на величину остаточного члена, который определяет абсолютную погрешность интерполяционной формулы Ньютона:
Абсолютную погрешность интерполяционной формулы Ньютона определяют следующим образом:
Переменная 
представляет собой верхнюю границу значения модуля (n +1)-й производной функции f(x) на заданном интервале [a, b]
В случае равноотстоящих узлов 
абсолютная погрешность интерполяционной формулы Ньютона определяют следующим образом:
Выражение записано с учетом следующей формулы:
Выбор узлов интерполяции
С помощью корректного выбора узлов можно минимизировать значение 
в оценке погрешности, тем самым повысить точность интерполяции. Данная задача может быть решена с помощью многочлена Чебышева:
В качестве узлов следует взять корни этого многочлена, то есть точки:
4. Методика вычисления полинома в форме Ньютона (прямой способ)
Алгоритм вычисления полинома в форме Ньютона позволяет разделить задачи определения коэффициентов и вычисления значений полинома при различных значениях аргумента:
1. В качестве исходных данных задается выборка из n-точек, которая включает в себя значения функции и значения аргумента функции.
2. Выполняется вычисление разделенных разностей n-порядка, которые будет использоваться для построения полинома в форме Ньютона.
3. Выполняется вычисление полинома n-степени в форме Ньютона по следующей формуле:
Алгоритм вычисления полинома в форме Ньютона 
представлен на рисунке 1.
Рис.1. Методика вычисления полинома в форме Ньютона
Следует отметить, что разделённые разности k-го порядка в соответствии с представленной методикой перезаписывается в вектор столбец функции 
, а результирующая разделенная разность всегда находится в первой ячейке функций 
. Рассмотрим, каким образом будет изменяться вектор столбец функции при выполнении расчета по представленной методике.
В качестве примера рассмотрим следующую практическую задачу. В рамках задачи известен набор шести значений, которые получены методом случайной выборки для различных моментов времени. Следует отметить, что данная выборка значений описывает функция 
на интервале [0, 10]. Необходимо построить многочлен в форме Ньютона для представленного набора значений. С помощью интерполяционной формулы вычислить приближенное значение функции в точке 
, а также определить оценку погрешности результата вычислений.
Многочлен в форме Ньютона, который строится на основании шести значений, представляет собой полином 5 степени. Результат построения полинома в форме Ньютона показан в графическом виде.
Рис.2. Исходная функция и полином в форме Ньютона, построенный по шести заданным точкам
С помощью найденного полинома можно определить значение функции в любой точке заданного интервала. Определение промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений называется «интерполяцией». В соответствии с условиями задачи полином в форме Ньютона в точке x=9,5 принимает следующее значение: L(9,5)= – 4,121. Из графика видно, что полученное значение не совпадает cо значением функции f(x) на величину абсолютной погрешности интерполяционной формулы Ньютона.
Интерполяционный полином в форме Ньютона часто оказывается удобным для проведения различных теоретических исследований в области вычислительной математики. Так, например, полином в форме Ньютона используются для интерполяции, а также для численного интегрирования таблично-заданной функцией.
