Векторы. Операции с векторами.

Математические или физические величины могут быть представлены как скалярными величинами (численным значением), так и векторными величинами (величиной и направлением в пространстве).

Вектор представляет собой направленный отрезок прямой, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом. Таким образом, в векторе присутствует две составляющих – это его длина и направление.

Рис.1. Изображение вектора на чертеже.

При работе с векторами часто вводят некоторую декартову систему координат в которой определяют координаты вектора, раскладывая его по базисным векторам:

- для вектора, расположенного в пространстве координат (x,y) и выходящего из начала координат 

- для вектора, расположенного в пространстве координат (x,y,z) и выходящего из начала координат 

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, а для обозначения длины вектора (его абсолютной величины) пользуются символом модуля.

Векторы расположенные либо на одной прямой, либо на параллельных прямых называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Среди коллинеарных векторов различают одинаково направленные (сонаправленные) и противоположно направленные векторы. Векторы называются компланарными, если они лежат либо на одной плоскости, либо на прямых, параллельных одной и той же плоскости. 

1. Длина вектора (модуль вектора)

Длина вектора определяет его скалярное значение и зависит от его координат, но не зависит от его направления. Длина вектора (или модуль вектора) вычисляется через арифметический квадратный корень из суммы квадратов координат (компонент) вектора (используется правило вычисления гипотенузы в прямоугольном треугольнике, где сам вектор становится гипотенузой).

Через координаты модуль вектора вычисляется следующим образом:

- для вектора, расположенного в пространстве координат (x,y) и выходящего из начала координат 

- для вектора, расположенного в пространстве координат (x,y,z) и выходящего из начала координат,  формула будет аналогична формуле диагонали прямоугольного параллелепипеда, так как вектор в пространстве принимает такое же положение относительно осей координат. 

2. Угол между векторами

Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения второго вектора. Угол между векторами определяется с использованием выражения для определения скалярного произведения векторов

Таким образом, косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения к произведению длин или модулей векторов. Данной формулой можно пользоваться в случае, если известны длины векторов и их скалярное произведение, либо векторы заданы координатами в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве в виде:  и .

Если векторы A и B заданы в трехмерном пространстве и координаты каждого из них заданы в виде:  и , то угол между векторами определяется по следующему выражению:

Следует отметить, что угол между векторами  и  можно также определить применяя теорему косинусов для треугольника: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

где AB, OA, OB – соответствующая сторона треугольника.

Рис.2. Теорема косинусов для треугольника

Применительно к векторным исчислением данная формула перепишется следующим образом:

Таким образом, угол между векторами  и  определяется по следующему выражению:

где  и  - модуль (длина) вектора, а  - модуль (длина) вектора, который определяется из разности двух векторов. Неизвестные входящие в уравнение определяются по координатам векторов  и .

3. Сложение векторов

Сложение двух векторов  и  (сумма двух векторов) - это операция вычисления вектора , все элементы которого равны попарной сумме соответствующих элементов векторов  и . В случае если вектора заданы в прямоугольной системе координат сумму векторов  и  можно найти по следующей формуле:

В графическом виде, сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу треугольника, так и по правилу параллелограмма.

Рис.3. Сложение двух векторов

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало.

Правило треугольника.

Для сложения двух векторов  и  по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Модуль (длину) вектора суммы определяют по теореме косинусов:

где  - угол между векторами, когда начало одного совпадает с концом другого.

Правило параллелограмма.

Для сложения двух векторов  и  по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Модуль (длину) вектора суммы определяют по теореме косинусов:

где  - угол между векторами выходящими из одной точки.

Примечание:

Как видно, в зависимости от того какой угол выбирается, изменяется знак перед косинусом угла в формуле для определения модуля (длины) вектора суммы.

4. Разность векторов

Разность векторов  и  (вычитание векторов) - это операция вычисления вектора , все элементы которого равны попарной разности соответствующих элементов векторов  и . В случае если вектора заданы в прямоугольной системе координат разность векторов  и  можно найти по следующей формуле:

В графическом виде, разностью векторов  и  называется сумма вектора  и вектора противоположного вектору , т.е. 

Рис.4. Разность двух свободных векторов

Разность двух свободных векторов в графическом виде может быть определена как по правилу треугольника, так и по правилу параллелограмма. Модуль (длина) вектора разности определяется по теореме косинусов. В зависимости от используемого угла в формуле изменяется знак перед косинусом (рассматривалось ранее).

5. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов  и  обозначается одним из следующих обозначений  или  или  и определяется по формуле:

где- длины векторов   и  соответственно, а  - косинус угла между векторами.

Рис.5. Скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение также можно вычислить через координаты векторов в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов  и .

Таким образом, для векторов  и  на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет следующий вид:

Для трехмерного пространства формула для вычисления скалярного произведения векторов  и  имеет следующий вид:

Свойства скалярного произведения.

1. Свойство коммутативности скалярного произведения

2. Свойство дистрибутивности скалярного произведения

3. Сочетательное свойство скалярного произведения (ассоциативность)

где  - произвольное действительное число.

Следует отметить, что в случае:

если скалярное произведение положительно, следовательно, угол между векторами – острый (менее 90 градусов);

если скалярное произведение отрицательно, следовательно,  угол между векторами  – тупой (больше 90 градусов);

если скалярное произведение равно 0, следовательно, вектора являются ортогональными (которые лежат перпендикулярно друг к другу);

если скалярное произведение равно произведению длин векторов, следовательно, данные векторы коллинеарные между собой (параллельные).

6. Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов  и называется вектор  для которого выполняются следующие условия:

1. вектор  ортогонален (перпендикулярен) плоскости векторов  и ;

2. направление вектора  определяется по правилу правой руки (вектор  направлен так, что из конца вектора  кратчайший поворот от вектора  к вектору  виден происходящим против часовой стрелки);

Рис.6. Нахождение направления векторного произведения с помощью правила правой руки.

3. длина вектора   равняется площади параллелограмма, образованного векторами, и может быть определена из выражения, равного произведению длин умножаемых векторов на синус угла между ними.

Векторное произведение векторов  и  обозначается следующим образом  (или ), а  длина (модуль) векторного произведения определяется по формуле:

где- длины векторов   и  соответственно, а  - синус угла между векторами.

Векторное произведение векторов отличается от скалярного произведения тем, что оно представляет собой не просто число, а вектор, имеющий свое собственное направление (направление обуславливает трехмерность системы). Таким образом, векторное произведение векторов по определению возможно только в трехмерном пространстве, где у каждого вектора указаны три координаты (i,j,k). Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности в отличие от скалярного произведения векторов.

Рис.7. Векторное произведение двух векторов

Векторное произведение также можно вычислить через координаты векторов в прямоугольной системе координат в пространстве.

Свойства векторного произведения.

1. Свойство антикоммутативности векторного произведения

2. Свойство дистрибутивности векторного произведения

3. Сочетательное свойство векторного произведения (ассоциативность)

где  - произвольное действительное число.

Следует отметить, что в случае:

если векторное произведение равно 0, следовательно, вектора являются коллинеарными (вектора параллельны друг другу);

если векторное произведение равно произведению длин векторов, следовательно, вектора являются ортогональными (которые лежат перпендикулярно друг к другу).