Преобразование координат Блонделя. Система уравнений явнополюсной синхронной машины, записанная для вращающейся системы координат

 

Система уравнений синхронной машины в фазной системе координат представляет собой совокупность дифференциальных уравнений с периодически изменяемыми  индуктивностями и взаимными индуктивностями синхронной машины, которые меняются в зависимости от положения ротора. Чтобы исключить периодические коэффициенты в уравнениях явнополюсной синхронной машины используют преобразование Блонделя, которое позволяет с помощью линейных преобразований получить систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Дифференциальные уравнения имеют постоянные коэффициенты тогда, когда магнитные оси обмоток статора и ротора неподвижны относительно друг друга. Для этого неподвижная система координат, связанная со статором, заменяется ортогональной координатной системой, вращающейся вместе  ротором.

Выберем определенное положение ротора синхронной машины, которое соответствует определенным значениям наводимых напряжений (и токов) в статорной цепи.

Зависимость изменения напряжения в статорной цепи.

Рис.1.Зависимость изменения напряжения в статорной цепи.

Полученные мгновенные значения напряжения трехфазной симметричной системы изобразим на неподвижных осях «А», «В» и «С», которые сдвинуты в пространстве относительно друг друга на угол 120 градусов. Введем понятие обобщенного вектора трехфазной системы U с помощью которого можно изобразить любые фазные переменные режима трехфазной симметричной системы (напряжения или токи).  Напряжения  симметричной системы можно представить как мгновенные значения проекций вращающегося обобщенного (изображающего) вектора Uтрехфазной системы на неподвижные оси «А», «В» и «С», сдвинутые в пространстве относительно друг друга на угол 120 градусов.

Обобщенный вектор трехфазной системы в зависимости от положения ротора синхронной машины

Рис.2.Обобщенный вектор трехфазной системы в зависимости от положения ротора синхронной машины

Обобщенный вектор трехфазной системы Uстроится следующим образом:

- выбирается момент времени для построения векторной диаграммы для которого определяются мгновенные значения напряжений (или токов) для фаз «А», «В», «С»;

- по осям  «А», «В», «С» откладываются мгновенные значения напряжений (или токов) за выбранный момент времени;

- определяется вектор обобщенной трехфазной системы Uпутем опускания перпендикуляров от построенных векторов фазной системы координат.

Следует отметить, что в установившемся режиме работы модуль обобщенного вектора трехфазной системы Uравен амплитуде фазного напряжения, а частота вращения вектора U- постоянна. В переходном режиме вектор U может изменять как величину модуля, так и частоту вращения. Однако при исследовании переходных электромагнитных процессов синхронной машины допускают (принятое допущение) постоянство частоты вращения ротора, и как следствие величину модуля вектора Uв течение всего времени переходного процесса.

         Трехфазная система неподвижных статорных обмоток математически представляется двумя эквивалетными обмотками, расположенными по продольной оси (ось d) и поперечной оси (ось q) ротора и вращается вместе с ним. Такое линейное преобразование впервые было предложено Блонделем для анализа утановившегося режима работы синхронной машины. 

Найдем преобразование исходной системы неподвижных фазных осей, совпадающих с осями «А», «В», «С» обмоток статора, к двум взаимно-перпендикулярным осям «d» и «q», жестко связанных с вращающимся ротором и направленным по продольному и поперечному направлениям магнитопровода ротора, соответственно.Проекция обобщённого вектора U на неподвижные оси (АВС-ось) могут быть записаны через проекцию обобщённого вектора U на вращающиеся оси (dq-ось) следующим образом (рис.2):

         С другой стороны проекция обобщённого вектора I на вращающиеся оси (dq-ось) могут быть записаны через проекцию обобщённого вектора I на неподвижные оси (АВС-ось) следующим образом (рис.2):

         В случае если , то к последней записанной системе уравнений добавляется следующее уравнение:

Система уравнений для напряжений статорной цепи

Рассмотрим систему уравнений, которая связывает потоки статорной цепи с напряжениями на зажимах генератора:

Преобразуем данную систему уравнений в фазной системе координат к системе уравнение записанную в подвижной системе координат. В общем виде напряжение по продольной и поперечной оси определяются следующим образом:

Подставим в данную систему уравнений выражения для определения фазных напряжений  и .

Данная система уравнений может быть упрощена при использовании выражений для определений токов по продольной и поперечной оси , а также магнитных потоков по продольной и поперечной оси . Выражения для определения производных магнитного потока по продольной и поперечной оси определяются с учетом следующих выражений:  , а также  и 

В результате преобразования получаем следующую систему уравненийдля напряжений статорной цепи (без  учета демпферных  контуров):

Система уравнений для потокосцеплений статорных контуров

Рассмотрим систему уравнений для потокосцеплений статорных контуров в фазной системе координат:

Преобразуем систему уравнений для потокосцеплений статорных контуров в фазной системе координат к системе уравнение записанную в подвижной системе координат. В общем виде потокосцепление по продольной и поперечной оси определяются следующим образом:

Далее полученная система уравнений, может быть переписана с учетом тригонометрических соотношений, а также с учетом выражений для определения индуктивностей и взаимоиндуктивностей в зависимости от положение ротора. В результате получим следующие выражения  для потокосцеплений статорных контуров(без  учета демпферных  контуров):

Полученную систему уравнений, можно переписать используя понятия о индуктивности обмотки статора по продольной оси  и индуктивности обмотки статора по поперечной оси, а также индуктивности обмотки статора при протекании тока нулевой последовательности .

Индуктивность обмотки статора по продольной оси Ld представляет собой индуктивность обмотки фазы статора при протекании по этой обмотке симметричных синусоидальных токов прямой последовательности, во время равщения ротора с синхронной частотой, в случае совпадения оси симметрии поля статора с продольной осью ротора.

 Индуктивность обмотки статора по поперечной оси Lq представляет собой индуктивность обмотки фазы статора при протекании по этой обмотке симметричных синусоидальных токов прямой последовательности, во время равщения ротора с синхронной частотой, в случае совпадения оси симметрии поля статора с поперечной осью ротора.

В результате выполнения преобразования были получены  индуктивности синхронной машины по продольной и поперечной осям, а также взаимоиндуктивность между обмотками статора и ротора по продольной и поперечной осям. Как видно, относительно новой вращающейся системы координат dq индуктивности и взаимоиндуктивности синхронной машины по продольной и поперечной осям постоянны по значению.

Система уравнений для потокосцеплений роторных контуров

Рассмотрим систему уравнений для потокосцеплений статорных контуров в фазной системе координат:

Преобразуем данное уравнение, используя выражения для определения взаимоиндуктивности в зависимости от положение ротора:

В результате получим следующее выражение  для потокосцеплений роторных контуров:

Система уравнений для напряжений роторной цепи

Рассмотрим уравнения для напряжений роторной цепи в фазной системе координат и  систему уравнений для напряжений в демпферных контурах:

Представленная система уравнений переписывается в подвижной системе координат без изменений.

Система уравнений явнолюполюсной синхронной машины в именованных единицах.

В результате преобразования была получена система уравнений явнолюполюсной синхронной машины для вращающейся системы координат (odq) с учетом демпферных  контуров, которая представлена в именованных единицах.

1. Система уравнений для статорной цепи:

2. Система уравнений для потокосцеплений статорных контуров:

3. Система уравнений для потокосцеплений роторных контуров:

4. Система уравнений для напряжений роторной цепи и демпферных контуров (уравнения равновесия напряжений роторных контуров):

Следует отметить, что в различных источниках могут по разному обозначаются переменные, которые представлены в данной системе уравнений. Так, например, переменная  обозначается , а переменная  обозначается .

Таким образом, переход от фазной системы координат (неподвижная система) к системе координат, привязанной к продольной и поперечной оси ротора, (подвижная система координат) позволил исключить периодические коэффициенты из системы дифференциальных уравнений. Данное преобразование переменных является формально математически приемом, которое позволяет трехфазную обмотку статора заменить эквивалентной двухфазной обмоткой, жестко связанной с продольной и поперечной осями ротора (см. рис. 3).

Структурная модель синхронной машины, приведенная к вращающейся системе координат

Рис.3.Структурная модель синхронной машины, приведенная к вращающейся системе координат

           

В связи с тем, что преобразованные обмотки статора неподвижны относительно ротора, то индуктивности и взаимные индуктивности этих обмоток постоянны.

Следует отметить, что в представленную систему уравнений входят индуктивные сопротивления синхронной машины по продольной и поперечной оси, а также индуктивнные сопротивления нулевой последовательности  которые определяются следующим образом:

С другой стороны, индуктивности и взаимные индуктивности обмоток статорной цепи можно определить используя индуктивные сопротивления синхронной машины по продольной и поперечной оси, а также индуктивнное сопротивление нулевой последовательности:

Индуктивности обмоток статорной цепи синхронной машины будут определяться выражениями как функция от угла между продольной осью ротора и магнитной осью фазы «А» (γ):

Взаимные индуктивности обмоток фаз статора синхронной машины будут определяться выражениями как функция от угла между продольной осью ротора и магнитной осью фазы «А» (γ):

 

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.