Система уравнений явнополюсной синхронной машины, записанная в фазной системе координат. Индуктивности и взаимные индуктивности синхронной машины

 

Любое изменение режима работы синхронной машины (сброс и набор нагрузки, короткие замыкания во внешней цепи и т. д.) приводит к возникновению переходных процессов, которые могут оказывать влияние на параллельную работу данной машины с энергосистемой. Интенсивные переходные процессы могут вызывать серьезные аварии, которые могут быть связаны с погашением части энергосистемы и повреждением дорогостоящего оборудования. Поэтому изучение переходных процессов в синхронных машинах имеют весьма большое практическое значение, так как позволяют выполнять теоретический расчет и анализ возможных аварийных ситуаций в энергосистеме, предвидеть характер возможных аварий, принимать меры по предотвращению или ограничению их действия, а также устранению их последствий.

В большинстве случаях анализ переходных процессов выполняют в идеализированной синхронной электрической машине, для которой приняты следующие основные допущения:

1. Магнитная система машины не насыщена. Это означает, что индуктивности машины постоянны, вебер-амперные характеристики линейны;

2. Распределение кривых магнитодвижущих сил (МДС) и индукции в воздушном зазоре вдоль окружности статора синусоидально (рассматривается только первая, основная гармоника). Следовательно, ЭДС в обмотках статора также являются синусоидальными;

3. Отсутствуют потери в магнитной системе машины.

4. Фазные обмотки статора симметричны в конструктивном отношении и имеют одинаковые параметры, а также ротор симметричен относительно своих продольной и поперечной осей;

5. Все продольные и поперечные демпферные обмотки приведены к одной эквивалентной демпферной обмотке.

Рассмотрим схему замещения синхронной машины в фазной системе координат, в которой стрелками в статорных обмотках и обмотке ротора показаны принятые положительные направления для токов и напряжений, а также запишем систему дифференциальных уравнений  явнополюсной синхронной машины.

Схема замещения синхронной машины в фазной системе координат

Рис.1.Схема замещения синхронной машины в фазной системе координат

Система уравнений для напряжений статорной цепи

Вращающееся магнитное поле, создает в обмотке статора ЭДС самоиндукции, по закону электромагнитной индукции. Таким образом, напряжения в обмотке статора переписываются следующим образом:

  В используемых формулах используются следующие обозначения:

 - фазные напряжения на зажимах обмотки статора;

 - фазные потокосцепления и токи в обмотках статора;

 - активное сопротивление обмотки статора.

Система уравнений для напряжений роторной цепи

Напряжение в обмотке возбуждение определяется следующим образом:

В используемой формуле используются следующие обозначения:

 - напряжение, приложенное к обмотке возбуждения;

 - потокосцепление и ток в обмотке возбуждения;

 - активное сопротивление обмотки возбуждения.

Примечание: Следует отметить, что в некоторых источниках используются отличные от представленных обозначения переменных обмотки возбуждения:  .

Напряжения в демпферных контурах, которые расположены в продольной и поперечной оси, определяются следующим образом:

В используемых формулах используются следующие обозначения:

 - потокосцепление и ток в демпферных контурах, которые расположены в продольной  и поперечной оси;

 - активное сопротивление обмотки возбуждения.

Система уравнений для потокосцеплений статорных контуров

  Потокосцепление статорных контуров представляет собой линейные зависимости тока и индуктивности  рассматриваемого контура, а также токов магнитосвязанных с ним других контуров и их взаимоиндуктивности.

В используемых формулах используются следующие обозначения:

 - индуктивности обмоток фаз статора;

 - взаимные индуктивности между обмотками фаз статора;

 - взаимные индуктивности между обмоткой фаз статора и обмоткой возбуждения на роторе;

 - взаимные индуктивности между обмоткой фаз статора и демпферными контурами по продольной оси;

 - взаимные индуктивности между обмоткой фаз статора и демпферными контурами по поперечной оси.

Система уравнений для потокосцеплений роторных контуров

Потокосцепление роторных контуров представляет собой линейные зависимости тока и индуктивности  рассматриваемого контура, а также токов магнитосвязанных с ним других контуров и их взаимоиндуктивности.

В используемых формулах используются следующие обозначения:

- индуктивность обмотки ротора синхронной машины;

 - индуктивность демпферных контуров в продольной и поперечной оси синхронной машины;

 - взаимные индуктивности между обмоткой фаз статора и обмоткой возбуждения на роторе;

 - взаимные индуктивности между обмоткой фаз статора и демпферными контурами по продольной оси;

 - взаимные индуктивности между обмоткой фаз статора и демпферными контурами по поперечной оси.

При необходимости исследования переходных электромеханических процессов, связанных с колебаниями частоты вращения ротора в переходном режиме, представленная система дополняется уравнением движения ротора.

Индуктивность обмотки фаз статора синхронной машины

Индуктивность обмоток фаз статора в явнополюсной синхронной машине является периодической функцией, которая меняется в зависимости от положения ротора синхронной машины. Изменение индуктивности обусловлено изменением магнитного сопротивления, по которому замыкается магнитный поток. Для получения зависимости изменения индуктивности обмоток фаз статора синхронной машины рассмотрим статор синхронной машины с отображением фазы «А», магнитной оси фазы «А» и явнополюсного ротора.

Картина распределения магнитного потока фазы А статора

Рис.2.Картина распределения магнитного потока фазы А статора

В случае совпадения магнитной оси фазы с продольной осью ротора (γ=0проводимость магнитного пути потоку фазы «А» будет максимальной, так как магнитный поток будет замыкаться по стальному участку ротора. При повороте ротора на 90 градусов (γ=пи/2) магнитная ось фазы будет совпадать с поперечной осью ротора. В таком положении ротора синхронной машины проводимость магнитного пути потоку фазы «А» будет достигать своего наименьшего значения, так как на пути магнитного потока будет расположен участок межполюсного пространства с большой величиной воздушного зазора.

 Поэтому при одном и том же значении  тока, протекающего по обмотке фазы «А» статора, магнитный поток, создаваемый фазой, в первом случае (γ=0) будет больше, чем во втором случае (γ=пи/2)Следовательно, индуктивность обмотки фазы «А» также будет максимальна в случае совпадения продольной оси ротора с осью фазы, а минимальное значение будет наблюдаться в случае совпадения поперечной оси ротора с осью фазы.

При дальнейшем вращении ротора тенденция изменения проводимости магнитного потока, и, следовательно, индуктивности  обмотки фазы «А» статора синхронной машины сохраняется. Аналогичный результат можно получить для индуктивности  обмоток фаз «В» и «С» статора учитывая, что обмотка фаз смещена относительно друг друга на 120 градусов. Таким образом, индуктивности обмоток фаз статора являются периодическими функциями угла γ между магнитной осью фазы и продольной осью ротора.

Зависимость индуктивности обмотки фазы статора от положения ротора в пространстве

Рис.3. Зависимость индуктивности обмотки фазы статора от положения ротора в пространстве

Как видно из представленной зависимости индуктивность обмотки фазы «А» статора изменяется от максимального значения до минимального значения с удвоенной частотой.  Всякую периодическую функцию можно разложить в ряд Фурье. Индуктивности обмоток фаз статора будут представлены через  функции косинуса угла γ в связи с тем, что четные периодические функции при разложении в ряд Фурье содержат только составляющие косинуса угла.

Обычно ограничиваются рассмотрением только двух первых переменных при разложении в ряд Фурье.

В представленных формулах используются следующие обозначения:

- среднее значение индуктивности фазы, которая определяется по формуле:

 - амплитуда изменения индуктивности фазы по отношению к среднему значению, которая определяется по формуле

γ ( гамма) – угол между продольной осью ротора и магнитной осью фазы «А».

Индуктивность обмотки ротора и демпферной обмотки синхронной машины

Изменение индуктивности обмотки ротора и демпферной обмотки  обусловлено изменением магнитного сопротивления, по которому замыкается магнитный поток. Следует отметить, что при вращении явнополюсного ротора магнитная проводимость, которая создается потоком обмотки возбуждения и демпферной обмотки, не изменяется. Следовательно, индуктивности обмотки ротора и демпферной обмотки не зависят от положения ротора относительно статора и являются постоянными величинами.

Следует отметить, что взаимная индуктивность между обмоткой ротора и демпферным контуром по продольной оси также является постоянным значением.

 
Взаимная индуктивность обмотки фаз статора синхронной машины

Взаимная индуктивность обмоток фаз статора в явнополюсной синхронной машине является периодической функцией, которая меняется в зависимости от положения ротора синхронной машины. Изменение взаимной индуктивности обусловлено изменением магнитного сопротивления, по которому замыкается магнитный поток. Для получения зависимости изменения взаимной индуктивности обмоток фаз статора синхронной машины рассмотрим статор синхронной машины с отображением фазы «А» и фазы «В», магнитную ось двух обмоток «А-В» и явнополюсный ротор.

Картина распределения магнитного потока фазы А и В статора

Рис.4.Картина распределения магнитного потока фазы А и В статора

В случае совпадения магнитной оси двух обмоток «А-В» с продольной осью ротора (γ=0проводимость магнитного пути потоку фазы «А» будет максимальной, так как магнитный поток будет замыкаться по стальному участку ротора. При повороте ротора на 90 градусов (γ=пи/2) магнитная ось двух обмоток «А-В»  будет совпадать с поперечной осью ротора. В таком положении ротора синхронной машины проводимость магнитного пути потоку двух обмоток «А-В» будет достигать своего наименьшего значения, так как на пути магнитного потока будетрасположен участок межполюсного пространства с большой величиной воздушного зазора.

Таким образом, взаимная индуктивность обмоток фаз статора синхронной машины будет максимальна в случае совпадения продольной оси ротора с магнитной осью двух обмоток, а минимальное значение будет наблюдаться в случае совпадения поперечной оси ротора с магнитной осью двух обмоток.

При дальнейшем вращении ротора тенденция изменения проводимости магнитного потока, и, следовательно, взаимной индуктивности  обмоток фаз статора синхронной машины сохраняется. Аналогичный результат можно получить для взаимной индуктивности  обмоток фаз «В-С» и «С-А» статора учитывая, что магнитная ось данных пар обмоток будет смещена относительно друг друга на 120 градусов. Таким образом, взаимная индуктивности обмоток фаз статора являются периодическими функциями угла γ между магнитной осью и продольной осью ротора.

Зависимость взаимной индуктивности обмотки фаз a и b статора от положения ротора в пространстве

Рис.5.Зависимость взаимной индуктивности обмотки фаз и статора от положения ротора в пространстве

Как видно из представленной зависимости взаимная индуктивность обмоток «А-В» статора изменяется от максимального значения до минимального значения с удвоенной частотой. Всякую периодическую функцию можно разложить в ряд Фурье. Взаимная индуктивность обмоток фаз статора будут представлены через функции косинуса угла γ в связи с тем, что четные периодические функции при разложении в ряд Фурье содержат только составляющие косинуса угла.

В связи с тем, что причина изменения взаимной индуктивности и индуктивности связана с изменением  положения участка межполюсного пространства с большой величиной воздушного зазора, приходим к выводу, что глубина изменения индуктивности совпадает с глубиной изменения взаимной индуктивности обмоток, соответственно, .

Ограничимся рассмотрением только первых двух переменных при разложении в ряд Фурье, а также перепишем вышеприведенные выражения через угол между продольной осью ротора и магнитной осью фазы «А» (угол γ), который определяется следующим образом .

В представленных формулах используются следующие обозначения:

 - среднее значение взаимной индуктивности, которая определяется по формуле:

 - амплитуда изменения взаимной индуктивности по отношению к среднему значению, которая определяется по формуле

γ ( гамма) – угол между продольной осью ротора и магнитной осью фазы «А».

Следует отметить, что значение взаимной индуктивности между обмотками фаз статора, представляет собой отрицательное значение, которое обусловлено тем, что оси обмоток фаз сдвинуты относительно друг друга на угол 120 градусов, следовательно, поток взаимной индукции ориентирован против положительного направления оси контура.

Взаимная индуктивность между обмотками фаз статора и обмоткой ротора синхронной машины

  Взаимная индуктивность между обмотками фаз статора с обмотками ротора в явнополюсной синхронной машине является периодической функцией, которая меняется в зависимости от положения ротора синхронной машины. Изменение взаимной индуктивности между обмотками фаз статора с обмотками ротора обусловлено изменением магнитного сопротивления, по которому замыкается магнитный поток. Так как обмотки ротора синхронной машины перемещаются относительно обмоток статора, то взаимные индуктивности любой обмотки ротора с обмоткой статора изменяются при вращении ротора периодически: достигая наибольшего значения при совпадении магнитных осей обмоток с продольной осью ротора (γ=0).

При дальнейшем вращении ротора тенденция изменения взаимной индуктивности между обмотками фаз статора с обмотками ротора синхронной машины сохраняется. Аналогичный результат можно получить для взаимной индуктивности  обмоток фаз «В» и «С» статора с обмотками ротора учитывая, что магнитная ось данных пар обмоток будет смещена относительно друг друга на 120 градусов. Таким образом, взаимная индуктивность между обмотками фаз статора с обмотками ротора являются периодическими функциями угла γ между магнитной осью и продольной осью ротора.

Как видно из представленной зависимости взаимная индуктивность между обмотками фаз статора и обмоткой ротора изменяется от максимального значения до минимального значения с частотой вращения ротора. Всякую периодическую функцию можно разложить в ряд Фурье.

Ограничимся рассмотрением только первых двух переменных при разложении в ряд Фурье.

В представленных формулах используются следующие обозначения:

 - взаимная индуктивность фазы «А» обмотки статора и обмотки возбуждения при совпадении их магнитных осей.

γ ( гамма) – угол между продольной осью ротора и магнитной осью фазы «А».

Аналогичные выражения можно получить для определения взаимных индуктивностей между обмоткой фаз статора и демпферными контурами по продольной оси.

Так же аналогичные выражения можно получить для определения взаимных индуктивностей между обмоткой фаз статора и демпферными контурами по поперечной оси.

Таким образом, в явнополюсной синхронной машине индуктивности обмоток фаз статора, взаимные индуктивности между обмотками статора и взаимные индуктивности между обмотками фаз статора и обмоткой ротора являются периодическими функциями угла между продольной осью ротора и магнитной осью обмотки фазы «А» (угол γ).

В результате, даже при сделанных ранее допущениях о идеализированной синхронной машине, была получена система дифференциальных уравнений с периодически изменяемыми во времени коэффициентами (индуктивностями и взаимными индуктивностями). Полученная система уравнений является решаемой, но при затрате значительного вычислительного ресурса. Для упрощения системы уравнений явнополюсной синхронной машины используют преобразование Блонделя, которое позволяет с помощью линейных преобразований получить систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в новой системе координат, вращающейся вместе с ротором.

 

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.