Метод половинного деления (метод также известен как метод Больцано или метод дихотомии) один из методов решения нелинейных уравнений и основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения . Итерационный процесс выполняется до того момента, пока не будет достигнута заданная точность .

Пусть дано уравнение  и определен отрезок  такой, что данный отрезок содержит один единственный корень уравнения . Тогда по концам заданного отрезка функция имеет значения, противоположные по знаку: . Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Один из множества этих способов — умножение значений функции на концах отрезка и определение знака произведения путём сравнения результата умножения с нулём:

.

Отрезок  называется начальным интервалом неопределенности, потому что известно, что корень ему принадлежит, но его местоположение с требуемой точностью не определено.

Процедура уточнения положения корня заключается в построении последовательности вложенных друг в друга отрезков, каждый из которых содержит корень уравнения. Для этого находится середина текущего интервала неопределенности , и в качестве следующего интервала неопределенности из двух возможных выбирается тот, на концах которого функция  имеет разные знаки.

Процесс завершается, когда длина текущего интервала неопределенности становится меньше заданной величины , задающей точность нахождения корня. В качестве приближенного значения корня берется середина последнего интервала неопределенности.

› Рассмотрим алгоритм метода половинного деления.

1. Найти начальный интервал неопределенности  одним из методов отделения корней, задать малое положительное число . Положить k=0.

2. Найти середину текущего интервала неопределенности:

.

3. Необходимо найти значение функции  в точках  и . Далее необходимо проверить два условия:

- если выполняется условие , то искомый корень находится внутри левого отрезка положить;

- если выполняется условие , то искомый корень находится внутри правого отрезка принять .

В результате находится новый интервал неопределенности, на котором находится искомых корень уравнения:

.

4. Проверяем новый отрезок на предмет заданной точности, в случае: 

- если длина нового отрезка меньше заданной точности , то итерационный процесс заканчивается. Приближенное значение корня определяется по формуле:

.

- если длина нового отрезка не достигает необходимой точности , то необходимо продолжить итерационный процесс  и перейти к п.2 рассматриваемого алгоритма.

Метод имеет линейную, но безусловную сходимость, и его погрешность за каждую итерацию уменьшается в два раза:

Из данного соотношения можно оценить число итераций k для достижения заданной точности :

Из полученной формулы можно сделать вывод, что для достижения точности  от длины первоначального промежутка  необходимо выполнить примерно десять итераций.

 К достоинствам метода также следует отнести то, что он позволяет найти простой корень уравнения   любых непрерывных функций  при любых значениях  таких, что .

Недостатки метода — он не обобщается на системы нелинейных уравнений и не может использоваться для нахождения корней четной кратности.

В качестве примера, рассмотрим решение нелинейного уравнения   методом половинного деления. Корень необходимо найти в рассматриваемом диапазоне  с точностью  .

Вариант решения нелинейного уравнения в программном комплексе MathCAD.

Результаты расчетов, а именно динамика изменения приближенного значения корня, а также погрешности расчета от шага расчета представлены графической форме (см. рис.1).

Рис.1. Результаты расчета по методу половинного деления

Для обеспечения заданной точности  при поиске уравнения в диапазоне  необходимо выполнить 12 итераций. На последнем шаге итерации приближенное значение корня нелинейного уравнения будет определяться значением: .

Добавить комментарий

Яндекс.Метрика