Методы решения квадратных уравнений

Квадратное уравнение – это алгебраическое уравнение второй степени (также его называют квадратным трёхчленом), которое можно записать в следующем виде:

где  – неизвестная переменная, а переменные - являются коэффициентами уравнения, причем . Представленное квадратное уравнение, когда все коэффициенты отличны от нуля, называют полным уравнением.

Приведённым уравнением называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице.

Любой многочлен может быть представлен в виде произведения линейных множителей вида  и постоянного числа, которое является коэффициентов многочлена при старшей ступени , т.е.

где - являются корнями многочлена.

Корнем называют число , обращающее квадратный трёхчлен в нуль. Корнями многочлена могут быть как действительные корни, так и комплексно-сопряженные корни.

Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений умели решать математики в Древнем Египте и Древнем Вавилоне (XX—VI вв. до н. э.). Методы решения квадратных уравнений в Европе были впервые  изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Данные материалы способствовали распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду , было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487 - 1567). Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были получены Франсуа Виетом в 1591 г. После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595 - 1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.

Способ №1. Общая формула для вычисления корней

Рассмотрим методику определения корней для полного квадратного уравнения:

1. Вычислить значение дискриминанта квадратного уравнения:

2. В случае если , то корни квадратного уравнения определены на множестве действительных чисел. Корни уравнения определяются по следующей формуле:

3. В случае если , то квадратное уравнение имеет два одинаковых корняквадратного уравнения, которые определяются по следующей формуле:

4. В случае если , то корни квадратного уравнения определены на множестве комплексных чисел. Корни уравнения определяются по следующей формуле:

где  является мнимой единицы, а квадрат данной переменной равен -1 (минус единице).

Изложенный метод решения квадратного уравнения является универсальным методом, который позволяет разложить исходное квадратное уравнение на множители:

Задача. Определим корни квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения определяется по формуле:

Корни квадратного уравнения определяются следующим образом:

В результате исходное квадратное уравнение раскладывается на множители:

 

Способ №2. Использование теоремы Виета

Рассмотрим методику определения корней для полного квадратного уравнения:

В соответствии с теоремой Виета между корнями  и коэффициентами квадратного уравнения существуют взаимосвязь. Если переменные  – корни квадратного уравнения, то:

- сумма корней равна отношению коэффициентов b и a, взятому с противоположным знаком

- произведение корней равно отношению коэффициентов c и a.

Если выполняются оба представленных соотношения, то в силу обратной теоремы Виета, делается вывод, что данные числа являются корнями уравнения.

Задача. Определим корни квадратного уравнения

В соответствии с теоремой Виета составляется следующая система уравнений:

Решая данную систему уравнений, определяются  корни квадратного уравнения:

В результате исходное квадратное уравнение раскладывается на множители:

В данной статье рассмотрены основные способы решения квадратных уравнений, но существует ряд других специализированных методов решения уравнений. Более подробно данные методы описаны в статье о способах решения алгебраического многочлена степени n.

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.