Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод парабол.

Метод парабол (метод также известен как методМюллера) является итерационным численным методом решения нелинейного уравнения  непрерывной функции. Данный метод относится к методам интервалов локализации корня. Впервые данный метод был представлен Давидом Мюллером в 1956 году.

Рассмотренный метод основан на замене исходной функции  интерполяционным многочленом второй степени (параболой), который строится по трем последовательным точкам ( и  ). В качестве приближенного значения корня функции  используется точка пересечения параболы и оси абсцисс (x).

Рис.1. Метод парабол

Интерполяционный многочлен записывается в форме Ньютона, который применяется для полиномиального интерполирования. В общем виде интерполяционный многочлен записывается следующей формулой:

где - точка в которой функция заменяется интерполяционным многочленом

, …,  - коэффициенты уравнения, которые вычисляются по следующим формулам:

   

   Далее будем считать, что парабола строится по трем точкам, которые расположены в заданном интервале локализации :

- по двум крайним точкам интервала: ;

         - по средней точке .

 

В соответствии с условиями задачи интерполяционный многочлен второй степени будет записываться в виде следующего уравнения:

Преобразуем данное уравнение к квадратному виду:

,

где коэффициенты уравнения вычисляются следующим образом

Интерполяционный многочлен второй степени  пересекает ось абсцисс в двух точках, которые определяются из решения квадратного уравнения:

В результате решения квадратного уравнения получили два корня. Рассмотрим подробно каждый из представленных корней уравнения.

› Первый корень уравнения определяется по формуле:

 

› Второй корень уравнения определяется по формуле:

 

В результате получим общую запись формулы, которая используется для нахождения двух точек пересечения параболы с осью абсцисс. 

 

Дальше из двух найденных значений необходимо выбрать только одно значение, которое находится в рассматриваемом интервале неопределенности . Выбранное значение будет являться приближенным значением корня функции .

Скорость сходимости метода Мюллера лишь немного превышает порядок сходимости метода хорд (метода секущих). Это означает, что, несмотря на привлечение дополнительной информации о функции, метод парабол не увеличивает существенно порядок сходимости. Вместе с тем возникают задачи решения квадратного уравнения, выбора одного из двух корней многочлена и, самое важное, определения области гарантированной сходимости метода. Если три приближения для построения многочлена выбраны далеко от корня и содержат погрешности, то возможно самое неожиданное поведение решения.

Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения по методу парабол

1. Найти начальный интервал неопределенности  одним из методов отделения корней. Задать погрешность расчета (малое положительное число  ) и начальный шаг итерации (k=0).

2. Определить среднюю точку в рассматриваемом интервале и найти значения функции в трех точках: по краям рассматриваемого интервала  и в середине интервала.

3. Выполнить расчет приближенного значения корня функции в соответствии с формулой:

,

 

где параметра A,B и C определяются следующим образом

В результате решения данного уравнения получаем два корня, из которых необходимо выбрать тот, который находится в рассматриваемом интервале неопределенности:

  если   ∈  

 

 

  если   ∈  

 

 

4. Определяем новый интервал неопределенности на котором находится искомых корень уравнения. При выборе данного интервала исходим из того, что функция  на концах интервала должна принимать значение разных знаков.

В соответствии с данным методом нахождения корня уравнения получается два возможных интервала неопределенности:

1 интервал: если , то новый интервал 

2 интервал: если , то новый интервал 

5. Проверяем приближенное значение корня на предмет заданной точности, в случае: 

- если разность двух последовательных приближений станет меньше заданной точности , то итерационный процесс заканчивается.

- если разность двух последовательных приближений не достигает необходимой точности , то необходимо продолжить итерационный процесс  и перейти к п.2 рассматриваемого алгоритма.

Пример решения уравнений методом парабол

 В качестве примера, рассмотрим решение нелинейного уравнения   методом парабол. Корень необходимо найти в рассматриваемом диапазоне  с точностью  .

Вариант решения нелинейного уравнения в программном комплексе MathCAD.

Результаты расчетов, а именно динамика изменения приближенного значения корня, а также погрешности расчета от шага итерации представлены в графической форме (см. рис.2).

Рис.2. Результаты расчета по методу хорд

Для обеспечения заданной точности  при поиске уравнения в диапазоне  необходимо выполнить 5 итерации. На последнем шаге итерации приближенное значение корня нелинейного уравнения будет определяться значением: .

 

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.