Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод хорд.

Метод хорд (метод также известен как Метод секущих) один из методов решения нелинейных уравнений и основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения . Итерационный процесс выполняется до того момента, пока не будет достигнута заданная точность .

В отличие от метода половинного деления, метод хорд предлагает, что деление рассматриваемого интервала будет выполняться не в его середине, а в точке пересечения хорды с осью абсцисс (ось - Х). Следует отметить, что под хордой понимается отрезок, который проведен через точки рассматриваемой функции по концам рассматриваемого интервала. Рассматриваемый метод обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод половинного деления, при условии задания одинакового рассматриваемого интервала.

Геометрически метод хорд эквивалентен замене кривой  хордой, проходящей через точки  и  (см. рис.1.).

Рис.1. Построение отрезка (хорды) к функции .

Уравнение прямой (хорды), которая проходит через точки А и В имеет следующий вид:

 

Данное уравнение является типовым уравнением для описания прямой вы декартовой системе координат. Наклон кривой задается по ординате и абсциссе с помощью значений в знаменателе  и , соответственно.

 Для точки пресечения прямой с осью абсцисс  записанное выше уравнение перепишется в следующем виде:

В качестве нового интервала для прохождения итерационного процесса выбираем один из двух  или , на концах которого функция  принимает значения разных знаков. Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Один из множества этих способов — умножение значений функции на концах отрезка и определение знака произведения путём сравнения результата умножения с нулём:

 или .

 Итерационный процесс уточнения корня заканчивается, когда условие близости двух последовательных приближений станет меньше заданной точности, т.е.

.

http://3ys.ru/images/lib/metody-resheniya-nelinejnykh-uravnenij-i-zadach-linejnoj-algebry/7eb02f7324b60049bacc6a73027793f4/cd3f620951e2e60c2beee822b777aaaa.jpg

Рис.2. Пояснение к определению погрешности расчета.

Следует отметить, что сходимость метода хорд линейная, однако более быстрая, чем сходимость метода половинного деления.

 

Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения по методу хорд

1. Найти начальный интервал неопределенности  одним из методов отделения корней. Задать погрешность расчета (малое положительное число ) и начальный шаг итерации (k=0).

2. Найти точку пересечения хорды с осью абсцисс:

3. Необходимо найти значение функции  в точках  и . Далее необходимо проверить два условия:

- если выполняется условие , то искомый корень находится внутри левого отрезка положить;

- если выполняется условие , то искомый корень находится внутри правого отрезка принять .

В результате находится новый интервал неопределенности, на котором находится искомых корень уравнения:

4. Проверяем приближенное значение корня уравнения на предмет заданной точности, в случае: 

- если разность двух последовательных приближений станет меньше заданной точности , то итерационный процесс заканчивается. Приближенное значение корня определяется по формуле:

- если разность двух последовательных приближений не достигает необходимой точности , то необходимо продолжить итерационный процесс  и перейти к п.2 рассматриваемого алгоритма.

 Пример решения уравнений методом хорд

В качестве примера, рассмотрим решение нелинейного уравнения   методом хорд. Корень необходимо найти в рассматриваемом диапазоне  с точностью  .

Вариант решения нелинейного уравнения в программном комплексе MathCAD.

Результаты расчетов, а именно динамика изменения приближенного значения корня, а также погрешности расчета от шага итерации представлены в графической форме (см. рис.1).

Рис.1. Результаты расчета по методу хорд

Для обеспечения заданной точности  при поиске уравнения в диапазоне  необходимо выполнить 6 итераций. На последнем шаге итерации приближенное значение корня нелинейного уравнения будет определяться значением: .

 

Примечание:

Модификацией данного метода является метод ложного положения (False Position Method), который отличается от метода секущих только тем, что всякий раз берутся не последние 2 точки, а те точки, которые находятся вокруг корня.

\begin{figure}\begin{center}\BoxedEPSF{FalsePosition.epsf scaled 600}\end{center}\end{figure}

\begin{displaymath}
x_n=x_1-{x_{n-1}-x_1\over f(x_{n-1})-f(x_1)} f(x_1).
\end{displaymath}

Следует отметить, что в случае если от нелинейной функции можно взять вторую производную  алгоритм поиска может быть упрощен. Предположим, что вторая производная  сохраняет постоянный знак, и рассмотрим два случая:

Случай №1: f(a)>0,~ f''(a)>0

Из первого условия получается, что неподвижной стороной отрезка является – сторона a.

Случай №2: f(a)<0,~ f''(x)>0

Из второго условия получается, что неподвижной стороной отрезка является – сторона b.

В общем виде, для выявления неподвижного конца можно записать следующее условие: f''(x)\cdot f(t)>0, где t=a или t=b.

http://konspekta.net/studopediaorg/baza8/1675925809225.files/image026.jpg

Рис. 3. Примеры убывающей или возрастающей функции

Таким образом, в зависимости от вида функции получаются два выражения для упрощения поиска корня функции:

- если функция соответствует первому случаю (см. рис. 3), тогда  формула будет иметь следующий вид:

, где k=0,1,2,…

 

- если функция соответствует второму случаю (см. рис. 3), тогда  формула будет иметь следующий вид:

, где k=0,1,2,…

 

 

Случай f''(x)<0  сводится к рассматриваемому, если уравнение записать в форме: -f(x)=0.

 

 

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.