Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод половинного деления.

Метод половинного деления (метод также известен как метод Больцано или метод дихотомии) один из методов решения нелинейных уравнений и основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения . Итерационный процесс выполняется до того момента, пока не будет достигнута заданная точность .

Пусть дано уравнение  и определен отрезок  такой, что данный отрезок содержит один единственный корень уравнения . Тогда по концам заданного отрезка функция имеет значения, противоположные по знаку: . Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Один из множества этих способов — умножение значений функции на концах отрезка и определение знака произведения путём сравнения результата умножения с нулём:

.

Отрезок  называется начальным интервалом неопределенности, потому что известно, что корень ему принадлежит, но его местоположение с требуемой точностью не определено.

Процедура уточнения положения корня заключается в построении последовательности вложенных друг в друга отрезков, каждый из которых содержит корень уравнения. Для этого находится середина текущего интервала неопределенности , и в качестве следующего интервала неопределенности из двух возможных выбирается тот, на концах которого функция  имеет разные знаки.

Процесс завершается, когда длина текущего интервала неопределенности становится меньше заданной величины , задающей точность нахождения корня. В качестве приближенного значения корня берется середина последнего интервала неопределенности.

Метод имеет линейную, но безусловную сходимость, и его погрешность за каждую итерацию уменьшается в два раза:

Из данного соотношения можно оценить число итераций kдля достижения заданной точности :

Из полученной формулы можно сделать вывод, что для достижения точности  от длины первоначального промежутка необходимо выполнить примерно десять итераций.

 

 К достоинствам метода также следует отнести то, что он позволяет найти простой корень уравнения   любых непрерывных функций  при любых значениях  таких, что .

Недостатки метода — он не обобщается на системы нелинейных уравнений и не может использоваться для нахождения корней четной кратности.

Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения по методу половинного деления.

1. Найти начальный интервал неопределенности  одним из методов отделения корней. Задать погрешность расчета (малое положительное число и начальный шаг итерации (k=0).

2. Найти середину текущего интервала неопределенности:

.

3. Необходимо найти значение функции  в точках  и . Далее необходимо проверить два условия:

- если выполняется условие , то искомый корень находится внутри левого отрезка положить;

- если выполняется условие , то искомый корень находится внутри правого отрезка принять .

В результате находится новый интервал неопределенности, на котором находится искомых корень уравнения:

.

4. Проверяем новый отрезок на предмет заданной точности, в случае: 

- если длина нового отрезка меньше заданной точности , то итерационный процесс заканчивается. Приближенное значение корня определяется по формуле:

.

- если длина нового отрезка не достигает необходимой точности , то необходимо продолжить итерационный процесс  и перейти к п.2 рассматриваемого алгоритма.

 

 Пример решения уравнений методом половинного деления

В качестве примера, рассмотрим решение нелинейного уравнения   методом половинного деления. Корень необходимо найти в рассматриваемом диапазоне  с точностью  .

Вариант решения нелинейного уравнения в программном комплексе MathCAD.

Результаты расчетов, а именно динамика изменения приближенного значения корня, а также погрешности расчета от шага итерации представлены в графической форме (см. рис.1).

Рис.1. Результаты расчета по методу половинного деления

Для обеспечения заданной точности  при поиске уравнения в диапазоне  необходимо выполнить 12 итераций. На последнем шаге итерации приближенное значение корня нелинейного уравнения будет определяться значением: .

 

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.