Нелинейные уравнения и системы уравнений. Методы их решения.

Одной из важных задач прикладной математики является задача решения нелинейных уравнений, встречающихся в разных областях научных исследований.

Под нелинейными уравнениями (nonlinear equations) понимаются алгебраические и трансцендентные уравнения с одним неизвестным в следующем виде:

,

где  - действительное число,  - нелинейная функция.

         Под системой нелинейных уравнений понимается система алгебраических и трансцендентных уравнений в следующем виде:

где {действительные числа, {} - нелинейные функции.

Алгебраическое уравнение — это уравнение содержащие только алгебраические функции, которое можно представить многочленом nой степени с действительными коэффициентами (целые, рациональные, иррациональные) в следующем виде:

.

Трансцендентное уравнение – это уравнение содержащие в своем составе функции, которые являются не алгебраическими. Простейшими примерами таких функций служат показательная функция, тригонометрическая функция, логарифмическая функция и т.д.

Решением нелинейного уравнения (или системы нелинейных уравнений) называют совокупность (группа) чисел , которые, будучи подставлены на место неизвестных , обращают каждое уравнение (или систему уравнений) в тождество:

.

Для решения нелинейных уравнений (или систем нелинейных уравнений) существует несколько методов решения: графические, аналитические и численные методы.

Графические методы наименее точны, но позволяют в сложных уравнениях определить наиболее приближенные значения, с которых в дальнейшем можно начинать находить более точные решения уравнений.

Аналитические методы (или прямые методы) позволяют определить точные значения решения уравнений. Данный метод позволяет записать корни в виде некоторого соотношения (формул). Подобные методы развиты для решения простейших тригонометрических, логарифмических, показательных, а также алгебраических уравнений. Однако подавляющее большинство нелинейных уравнений, встречающихся на практике, не удается решить прямыми методами. В таких случаях обращаются к численным методам, позволяющим получить приближенное значение корня с любой заданной точностью.

Численные методы решения нелинейных уравнений – это итерационный процесс расчета, который состоит в последовательном уточнении начального приближения значений корней уравнения (системы уравнений). При численном подходе задача о решении нелинейных уравнений разбивается на два этапа:

- локализация (отделение) корней

- уточнение корней.

› Под локализацией корней  понимается процесс отыскания приближенного значения корня или нахождение таких отрезков, в пределах которых содержится единственное решение

› Под уточнением корней понимается процесс вычисления приближенных значений корней с заданной точностью по любому численному методу решения нелинейных уравнений.

Недостатком почти всех итерационных методов нахождения корней является то, что они при однократном применении позволяют найти лишь один корень функции, к тому же, мы не знаем какой именно. В случае повторения итерационного процесса при изменении стартовых точек отсутствуют гарантии, что найдется новый корень уравнения, так как итерационный процесс может  сойтись к найденному корню.

Для поиска других корней используется метод удаления корней. Данный метод основан на принципе создания новой функции  путем деление основной функции на найденный корень уравнения:

.

Так, например, если  — корень функции  то, чтобы произвести удаление найденного корня и поиск оставшихся корней исходной функции необходимо создать функцию  . Точка  будет являться корнем функции  на единицу меньшей кратности, чем , при этом все остальные корни у функций  и  совпадают с учетом кратности. Повторяя указанную процедуру, можно найти все корни   с учетом кратности.

Следует обратить внимание,  что когда производим деление на тот или иной корень , то в действительности мы делим лишь на найденное приближение , и, тем самым, несколько сдвигаем корни вспомогательной функции относительно истинных корней функции . Это может привести к значительным погрешностям, если процедура отделения применялась уже достаточное число раз. Чтобы избежать этого, с помощью вспомогательных функций вычисляются лишь первые итерации, а окончательные проводятся по исходной функции , используя в качестве стартового приближения, последнюю итерацию, полученную по вспомогательной функции.

Локализация корней.

› Локализация корней аналитическим способом

Для отделения корней уравнения необходимо иметь критерий, позволяющий убедится, что, во-первых, на рассматриваемом отрезке  имеется корень, а, во-вторых, что этот корень единственный на указанном отрезке. Если функция  непрерывна на отрезке ,  а на концах отрезка её значения имеют разные знаки , то на этом отрезке расположен, по крайней мере, один корень. Дополнительным условием, обеспечивающем единственность корня на отрезке  является требование монотонности функции на этом отрезке. В качестве признака монотонности функции можно воспользоваться условиемзнакопостоянства первой производной . Таким образом, если на отрезке  функция непрерывна и монотонна, а ее значения на концах отрезка имеют разные знаки, то на рассматриваемом отрезке существует один и только один корень.

› Локализация корней табличным способом

Допустим, что все интересующие нас корни уравнения  находятся на отрезке . Выбор этого отрезка (интервала поиска корней) может быть сделан, например, на основе анализа конкретной физической или иной задачи. Будем вычислять значения  , начиная с точки , двигаясь вправо с некоторым шагом h. Как только обнаруживается пара соседних значений , имеющих разные знаки, так соответствующие значения аргумента x можно считать границами отрезка, содержащего корень.

Надежность рассмотренного подхода к отделению корней уравнений зависит как от характера функции , так и от выбранной величины шага h. Действительно, если при достаточно малом значении h () на границах текущего отрезка   функция  принимает значения одного знака, то естественно ожидать, что уравнение   корней на этом отрезке не имеет. Однако, это не всегда так: при несоблюдении условия монотонности функции  на отрезке  могут оказаться корни уравнения (рис. 1, а). Также несколько корней на отрезке могут оказаться и при выполнении условия  (рис. 1, б). Предвидя подобные ситуации, следует выбирать достаточно малые значения h.

Рис. 1. Варианты поведения функции на интервале локализации корня

Поскольку данный способ предполагает выполнение лишь элементарных арифметических и логических операций, количество которых может быть велико при малых значениях h, для его реализации целесообразно использовать вычислительные возможности компьютера.

Отделяя, таким образом, корни, мы, по сути, получаем их приближенные значения с точностью до выбранного шага. Так, например, если в качестве приближенного значения корня взять середину отрезка локализации, то абсолютная погрешность этого значения не будет превосходить половины шага поиска (h/2). Уменьшая шаг в окрестности каждого корня, можно, в принципе, повысить точность отделения корней до любого наперед заданного значения. Однако такой способ требует большого объема вычислений. Поэтому при проведении численных экспериментов с варьированием параметров задачи, когда приходится многократно осуществлять поиск корней, подобный метод не годится для уточнения корней и используется только для отделения (локализации) корней, т.е. определения начальных приближений к ним. Уточнение корней проводится с помощью других, более экономичных методов.

Уточнение корней.

На данном этапе задача состоит в получении приближенного значения корня, принадлежащего отрезку , с заданной точностью (погрешностью) e. Это означает, что вычисленное значение корня http://physics.herzen.spb.ru/library/01/01/nm_labs/nonlineareq.files/image073.gif должно отличаться от точного http://physics.herzen.spb.ru/library/01/01/nm_labs/nonlineareq.files/image075.gif не более чем на величину e:

Существует большое количество численных методов решения нелинейных уравнений для уточнения корней, которые условно можно разделить:

› Методы решение уравнений с одним неизвестным. Основными представителями являются:

- метод половинного деления;

- метод хорд;

- метод простой итерации;

- метод Ньютона для уравнения с одним неизвестным;

- метод секущих;

- метод парабол (Метод Мюллера);

- Метод Ридерса;

- Метод Дэккера и Брэнта;

- Метод Лобачевского;

- и т.д.

› Метода решения систем уравнений с несколькими неизвестными. Основными представителями являются:

- метод простой итерации для системы уравнений;

- метод Зейделя;

- метод Ньютона для системы уравнений;

- модифицированный метод Ньютона;

- разностный метод Ньютона;

- метод Ньютона с последовательной аппроксимацией матриц;

- Метод Брауна;

- и т.д.

 

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.