Разложение функции в ряд Фурье

 

Ряд Фурье (в англоязычной литературе Fourier series) – это способ представления сложной  функции (периодической или непериодической) с помощью бесконечной суммы простейших тригонометрических функций синуса и косинуса.

Коэффициенты уравнения ,   и  называются коэффициентами Фурье, которые определяются следующими выражениями внутри диапазона от -π до π:

;

 (где n =1,2,3 … номер гармоники);

 (где n =1,2,3 … номер гармоники);

         Следует отметить, что существует другой вид записи тригонометрического ряда Фурье с помощью применения геометрического выражения:

где 

Таким образом, альтернативная запись ряда Фурье имеет следующий вид:

где  - константа;

 - амплитуды различных компонент;

- фазовый угол. 

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что любую функцию на заданном интервале можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов). Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.  В качестве исходных функций могут быть как абстрактные математические функции, так и функции которые описывают зависимости изменения токов и напряжений в расчетной схеме, распределение звуковых и акустических волн и т.п.

В качестве примера, рассмотрим разложения параболической функции  в ряд Фурье на интервале [–π; π]. Параболическая функция будет разложена в ряд Фурье вида:

1. Определим коэффициент  ряда Фурье для заданной параболической функции:

2. Определим коэффициент  ряда Фурье для заданной параболической функции:

Воспользуемся формулой интегрирования по частям , в соответствии с которым выполним замену в интегральном выражении ( и ), тогда  и . В результате получим новое выражение для определения коэффициента  ряда Фурье перепишется в следующем виде:

В интегральном выражении повторно воспользуемся формулой интегрирования по частям в соответствии с которым выполним замену в интегральном выражении ( и ), тогда  и . В результате получим новое выражение для определения коэффициента  ряда Фурье в следующем виде:

∙ Рассмотрим первое слагаемое в выражения:

∙ Рассмотрим второе слагаемое в выражении:

∙ Рассмотрим третье слагаемое в выражении:

В результате получаем выражение для определения коэффициента  ряда Фурье:

3. Определим коэффициент  ряда Фурье для заданной параболической функции. Здесь следует отметить, что в связи с тем, что функция - четная, то коэффициент  ряда Фурье равен 0. Покажем это на данном примере:

∙ Рассмотрим первое слагаемое в выражения:

∙ Рассмотрим второе слагаемое в выражении:

∙ Рассмотрим третье слагаемое в выражении:

В результате получаем, что коэффициент  ряда Фурье:

4. В результате разложение параболической функции  на интервале [–π; π] в ряд Фурье имеет следующий вид:

Рис.1. Зависимость изменения функция f(x) и ее представление в виде ряда Фурье

 

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.