Разложение функции в ряд Тейлора

 

› Формула Тейлора для функции одной переменной

Ряд Тейлора (в англоязычной литературе Taylor series) – это способ представления сложной  функции (периодической или непериодической) с помощьюбесконечной суммы простейших степенных функций.

где  - степенной ряд, полученный разложением функции в окрестности  точке  в ряд Тейлора;

 – точка, в окрестности которой производится разложение функции ;

 – производная n-степени функции  в окрестности  точке  

         n – число членов ряда разложения.

Следует отметить, что в случае, если , то ряд Тейлора преобразуется в ряд Маклорена (в англоязычной литературе Maclaurin series).

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка. Так же формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении.

 

› Формула Тейлора для функции двух переменных

В случае если функция  является функцией от двух переменных и имеет производные вплоть до n-го порядка включительно в некоторой окрестности точки  , тогда разложение функции в ряд Тейлора будет иметь следующий вид:

где  - степенной ряд, полученный разложением функции в окрестности  точке  в ряд Тейлора;

n – число членов ряда разложения.

Представленная формула распространяется на функции от любого числа переменных.

В качестве первого примера, рассмотрим разложение тригонометрической функции  в ряд Тейлора в окрестности  точки .

Рассматриваемая функция  дифференцируема и имеет производные вплоть до n-го порядка, которые вычисляются следующим образом: . Таким образом, функция  раскладывается в следующий ряд Тейлора:

В итоге получаем следующий степенной ряд:

Рис.1. Зависимость изменения функция  и ее представление в виде ряда Тейлора

В качестве второго примера, рассмотрим разложение тригонометрической функции  в ряд Тейлора в окрестности  точки .

Рассматриваемая функция  дифференцируема и имеет производные вплоть до n-го порядка, которые вычисляются следующим образом: . Таким образом, функция  раскладывается в следующий ряд Тейлора:

В итоге получаем следующий степенной ряд:

Рис.2. Зависимость изменения функция  и ее представление в виде ряда Тейлора

В качестве третьего примера, рассмотрим разложение тригонометрической функции  в ряд Тейлора в окрестности  точки .

Рассматриваемая функция  дифференцируема и имеет производные вплоть до n-го порядка, которые вычисляются следующим образом: . Таким образом, функция  раскладывается в следующий ряд Тейлора:

В итоге получаем следующий степенной ряд:

Рис.3. Зависимость изменения функция  и ее представление в виде ряда Тейлора

 

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.